산술평균 수익률의 거짓말 — 기하평균과의 차이가 만드는 함정
"연 평균 +10% 수익률" 이라고 광고하는 펀드를 1억 원에 가입했는데, 10년 뒤 잔고가 2.5억 원이 아니라 1.9억 원에 머무는 일이 흔합니다. 펀드사가 거짓말을 한 것이 아닙니다. 산술평균은 "예측 가능성" 을 나타내고, 기하평균은 "실제 통장에 남은 결과" 를 나타냅니다. 둘은 다른 질문에 대한 답이며, 변동성이 클수록 격차가 벌어집니다. 본 글은 그 수학적 원리와 실무에서의 사용 구분을 정리합니다.
1. 두 평균의 정의
매년 수익률이 r₁, r₂, ..., rₙ 으로 나왔다고 합시다. 두 평균의 정의는 다음과 같습니다.
산술평균은 "각 해 수익률의 단순 산술 합 ÷ 햇수" 입니다. 기하평균은 "전 기간 누적 잔고의 변화를 균등하게 펼친 연환산 수익률" 입니다. 후자는 CAGR (Compound Annual Growth Rate) 과 동일한 개념입니다.
2. 왜 둘이 다를까 — 손실의 비대칭성
가장 단순한 예: 2년간 +50% → −50% 수익률을 봅시다.
- 산술평균 = (50 + (−50)) / 2 = 0%
- 실제 잔고: $100 → $150 → $75. 누적 수익률 −25%. 기하평균 = √(1.50 × 0.50) − 1 ≈ −13.4%
산술평균은 "평균적으로 0% 수익이니 본전" 이라 말하지만, 실제 잔고는 −25% 입니다. 1억 원이 7,500만 원으로 줄어들었습니다.
손실은 같은 % 의 수익보다 회복이 어렵습니다. −50% 손실을 만회하려면 +100% 수익이 필요합니다 (절반이 두 배가 되어야 원래대로). 변동성이 만드는 이 비대칭성이 기하평균을 산술평균보다 항상 낮게 만듭니다.
3. 변동성 끌림 공식
두 평균의 차이는 변동성의 함수입니다. 수익률의 표준편차를 σ 라 할 때, 두 평균의 관계는 근사적으로 다음과 같습니다.
이 공식이 의미하는 바:
- 저변동성 자산 (예: 연 σ = 10%): 격차 = 0.10² / 2 = 0.5%p. 거의 무시 가능.
- 중간 변동성 (σ = 20%, 일반적인 주식 시장): 격차 = 0.20² / 2 = 2%p. 무시 못 함.
- 고변동성 (σ = 40%, 개별 성장주/암호화폐): 격차 = 0.40² / 2 = 8%p. 매우 큼.
이것이 "변동성 끌림(Volatility Drag)" 입니다. 같은 산술평균 수익률이어도 변동성이 큰 자산일수록 실제 잔고는 덜 늘어납니다.
4. 가상 사례 — 산술평균만으로 잔고를 비교할 수 없는 이유
1억 원을 투자한 두 가상의 펀드가 아래 수익률을 기록했다고 합시다. 중간 입출금은 없으며, 안정형의 산술평균은 연 10%, 고위험형은 연 18% 입니다. 실제 5년 뒤 잔고와 연복리 수익률은 어떻게 다를까요?
| 연도 | 안정형 (저변동) | 고위험형 (고변동) |
|---|---|---|
| 1 | +10% | +50% |
| 2 | +10% | −30% |
| 3 | +10% | +50% |
| 4 | +10% | −30% |
| 5 | +10% | +50% |
| 산술평균 | 10% | 18% |
| 5년 누적 잔고 (1억 시작) | 약 1.61억 | 약 1.65억 |
| 기하평균 (CAGR) | 10% | 약 10.58% |
5년 성장배수 = 1.50 × 0.70 × 1.50 × 0.70 × 1.50 = 1.65375
CAGR = 1.65375^(1/5) − 1 ≈ 10.58%
안정형의 잔고는 1억 × 1.10⁵ = 1억 6,105만 1,000원, 고위험형은 1억 × 1.65375 = 1억 6,537만 5,000원입니다. 이 예시에서는 고위험형의 잔고가 432만 4,000원 더 많습니다. 다만 고위험형의 산술평균 18% 와 기하평균 약 10.58% 사이에는 약 7.42%p 차이가 납니다. 두 펀드의 산술평균이 같은 예시가 아니므로, 고변동 펀드는 언제나 저변동 펀드보다 잔고가 적다고 해석해서는 안 됩니다.
5. 실무에서 어떻게 써야 하나
산술평균을 써야 할 때
- 미래 1년 수익률의 기대값 추정 — "다음 해에 평균적으로 얼마 받을까" 의 점추정
- 몬테카를로 시뮬레이션의 입력 — 정규분포 평균(μ) 로 사용
- Sharpe Ratio 계산의 분자 — (산술평균 수익률 − 무위험 수익률) / σ
기하평균(CAGR) 을 써야 할 때
- 실제 누적 성과 보고 — "5년간 내 통장이 얼마 늘었나" 의 정확한 답
- 장기 비교 — 두 펀드/지수의 장기 누적 성과 비교
- 은퇴 시뮬레이션 — "내가 매년 이만큼 인출하면 자산이 얼마 남을까"
금융상품 광고에서 "평균 수익률 N%" 만 표기한 경우, 거의 항상 산술평균입니다. 누적 잔고를 알고 싶다면 CAGR 또는 "누적 수익률" 표기를 찾아야 합니다. 두 값은 변동성이 클수록 더 크게 벌어집니다.
6. Multifolios 는 어떻게 계산하나
Multifolios 의 현재 기본 표시는 매수 lot 의 평균원가와 평가액을 비교한 단순 수익률입니다. 누적 수익률 자체와 이를 기간에 따라 연환산한 기하평균(CAGR)은 구분해야 합니다.
- 보유 종목 카드의 수익률 — (현재가 − 매입가중평균) / 매입가중평균 × 100. 평균원가 대비 단순 수익률입니다.
- 자산 추이 차트의 수익률 — 슬라이더 끝 날짜의 평가금액 / 같은 시점의 투자원금 − 1. 시점별 원금 대비 비율이며 CAGR이 아닙니다.
- 전체기간 "수익률" 탭 — 현재 평가액을 투자원금과 비교한 수익률이며, 연환산 CAGR로 변환하지 않습니다.
이 표시는 매수 시점별 자금이 머문 기간이나 외부 입출금의 영향을 별도로 계산하지 않으므로, 정식 TWR이나 MWR/XIRR도 아닙니다. 입출금이 있는 계좌의 성과를 비교할 때는 단순 수익률·TWR·MWR의 차이를 함께 확인하세요.
7. 한 줄 요약
산술평균은 기간별 수익률의 단순 평균이고, 기하평균은 같은 누적 성과를 나타내는 기간당 복리 수익률이다. 연 단위 수익률의 기하평균이 CAGR이며, 누적 수익률 자체와는 다르다. σ²/2는 작은 수익률·변동성에서 사용하는 격차의 근사치이고, Multifolios의 현재 기본 표시는 평균원가 대비 단순 수익률이다.